从“圆”的教学看数学应用意识的培养

时间：2016-10-31 来源：网络整理作者：佚名

　　在一次数学测试中，教师出了这样一道实践性题目：“要在200米的环形跑道上赛跑，如果把6个起跑的学生站成一横排，你有什么想法？”这道题不是以常规的练习题型出现，而是通过创设一个问题情境，启发学生应用“半径决定圆的大小”，抓住“半径不同的圆周长不等”这一问题的实质来进行思考。结果不少“优秀生”也只会按照常规解答，不能令人满意，值得我们深思。也许我们的学生在基础知识和基本技能方面都很不错，但为什么灵活地、综合地运用所学数学知识，机智地解决实际问题的能力却很不理想呢？究其原因，主要是学生缺乏数学的应用意识和能力。
　　
　　认知数学知识本身是数学应用的重要方面
　　
　　实践是认识的源泉，又是检验认识正确与否的唯一标准，认知数学与应用数学是一个事物的两个方面，密不可分。例如，认识圆的教学要从“生活中很多物体都是圆形的”引入，如让学生直观地看到圆形的轮子能使汽车平稳地行驶，亲身感知这是“圆”的特征所决定的。人们在生活中利用圆具有的特殊性质，把这些性质应用到制造圆形的轮子上，让学生体会数学来源于生活又应用于生活。同时，让学生亲自动手用硬纸板做实验：如果车轴不装在圆的中心上，结果会怎样？如果把街道上的窨井盖做成正方形或长方形的，结果又会怎样？经过观察、比较、思考，认识到车轴只有装在圆的中心，车子行驶才平稳；窨井盖只有做成圆形的，才不会掉到窨井里。从而认识圆心、半径、直径以及同圆或等圆的半径、直径相等。
　　在圆周长的教学中，有的学生先用绳子围圆一圈，再用尺量绳子的长度；有的学生直接用软尺绕圆一周进行测量；有的学生用圆在直尺上滚动，得到圆的周长，进而发现任何一个圆的周长都大约是直径的3.14倍。
　　在认识圆面积的计算方法时，先让学生进行猜想尝试（如下图）。

　　
　　他们先发现圆面积小于以直径为边长的大正方形的面积，再用圆的面积依次与一个、两个、三个以圆的半径为边长的小正方形面积进行比较，他们会发现：4个小正方形面积＞圆面积＞3个小正方形面积，即
　　圆面积=小正方形面积的3倍多一点
　　=小正方形边长平方的3倍多一点
　　=圆半径平方的3倍多一点
　　最后把圆面积转化为长方形面积。实验证明：圆的面积=半径平方的3.14倍。由此可见，认识数学知识的过程，实质就是数学知识的应用过程。
　　
　　“解决问题”是数学应用的基本平台
　　
　　在圆的教学中，教师要结合学生的学习状况，充分利用教学内容自身的魅力，及时为学生提供应用数学知识解决的实际问题。要精心选择那些能较好地体现数学基本原理的应用材料，使学生能灵活应用数学知识的原理解决简单的实际问题。如当学生感知了圆是一种最普通、最实用、最完美的几何图形，进而认识圆的特征及各部分名称，在理解半径决定圆的大小，圆心决定圆的位置，掌握圆周长和圆面积的计算方法等的同时，让学生应用所学知识，解决一些实际的应用问题。例如：
　　1.展览馆门前圆形水池的周长是78.5米，它的直径是多少米？半径是多少米？
　　2.一台压路机前轮半径是0.4米，如果前轮每分钟转动6周，10分钟可以从路的一端压到另一端，这条路约长多少米？
　　3.用一条长20米的绳子围着一棵树干绕6圈，还余下1.16米，树干的直径大约是多少米？
　　4.一条小路长46.1米，小明在路上滚铁环，铁环直径30厘米，从路的一端滚到另一端，铁环要转多少圈？
　　5.你能求出电扇叶端点转动一圈轨迹的长是多少吗？怎么求？
　　6.一块圆形草坪周长是50.24米，这块草坪占地多少平方米？
　　7.一个养鱼池周长是100.48米，中间有一个圆形小岛，半径是6米，这个养鱼池的水域面积是多少平方米？
　　8.从一个长5分米，宽4分米的长方形木板上锯下一个最大的圆，剩下的木板是多少平方分米？
　　通过数学知识的应用，让学生明白数学来源于现实世界，又应用于现实世界的道理，要尽可能多地用事实展示数学是怎样从实际中被抽象出来，又怎样应用于解决实际问题的全过程，有目的、有计划地培养学生的数学应用意识，形成应用能力；养成用数学的眼光去观察、分析、解决日常生活中的实际问题的习惯，将学生的数学应用意识升华为数学应用能力。例如：农民张大伯要用篱笆在墙边围一个一面靠墙的鸡圈，已知篱笆的总长为20米，张大伯应该怎样围，才能使围成的鸡圈面积最大？
　　在讨论和尝试中，学生考虑到可以围成正方形、长方形或半圆形等。如下图。
　　
　　进而通过画图，仔细观察和计算进行判断：

　　正方形面积：20÷3≈6.67；6.67×6.6744.49（平方米）。
　　长方形面积：10×5=50（平方米）。
　　半圆的面积：20×2÷3.14÷2≈6.37（米），6.37×6.37×3.14÷2≈63.69（平方米。）最后得出：鸡圈围成半圆形，面积最大。
　　在数学应用中，应该适时引导学生把零散的知识系统化，使单一的应用综合化，提高学生综合应用数学知识的能力。例如：求左图阴影部分的面积（单位：厘米）。在思考和解题的过程中，需要综合应用圆的面积、扇形面
　　
　　积、等腰直角三角形、三角形内角和以及组合图形面积计算的知识。
　　在知识的应用过程中，教师要善于通过提供具有典型意义的实际问题，启发学生灵活应用数学知识解决问题。例如：已知下图中正方形的面积是9平方厘米，求圆的面积。
　　
　　

解答这道题就不能简单机械地应用公式，而需要灵活应用数学知识解决问题。综合学生的解答有以下三种情况：一是死记公式，发现不了正方形面积与半径之间的关系，结果找不到解题途径；二是根据正方形的面积是9，推断出半径必定是3，再循规蹈矩地算出圆面积；三是能灵活应用数学知识发现正方形的面积是9，就等于圆的半径平方，于是巧妙地算出圆面积是：9×3.14=28.26（平方厘米）。如果把正方形的面积变为8平方厘米，那就只有能灵活思维（第三种方法）的学生才能解答了。
　　
　　学会数学思想方法是数学应用的灵魂所在
　　
　　数学教学是数学活动的教学，而数学思维永远是数学活动的“灵魂”。让学生在数学应用的过程中获得数学的思想、方法与策略，这才是数学教学的根本。在“圆”的教学中，教师应该因地制宜，因人而异，通过适度的拓展，潜移默化地给学生渗透相互转化、数形结合、猜想验证、顺思逆想、分解组合等思想，培养学生的空间观念与空间想象能力。例如：

　　已知下图中圆和长方形的面积相等，求长方形的宽是多少？学生在16÷2=8，8×8×3.14÷16=12.56（cm）的计算中就渗透了数形结合的思想和图形转化的思想。
　　
　　

又如：在按照教材（人教版六年级上册第61页）引导学生利用圆规和三角板画图案的过程中，可以启发学生想象，如果正方形的边长10厘米，你能计算出菊花瓣的面积吗？通过空间想象，学生不难发现，如果在正方形里装进两个圆，不仅装满了整个正方形，而且出现了重叠，重叠的部分正是菊形花瓣的面积。因此，菊形花瓣的面积等于两个圆的面积减去正方形的面积。

　　
　　我们还可以设计一些非常有趣的问题，唤起学生大胆的想象，使数学知识适当拓展：一个人的身高1.6米，如果他沿着赤道绕地球走一圈，他的头和脚移动的距离一样多吗？这个问题乍看似乎荒唐可笑，但仔细一想，再画一画示意图并经过计算，就会发现他的头和脚移动的差实际是半径为1.6米的圆周长。如果设地球的直径为d米，那么他的头比脚多移动的距离就是：
　　（1.6×2+d）×3.14-3.14d
　　=3.2×3.14+3.14d-3.14d
　　≈10.05（米）。
　　
　　总之，数学的应用实际是一种策略、一种手段、一种思想方法、一种思维习惯。我们在教学中务必充分利用数学
　　这个思维体操，锻炼学生的思维能力，使学生的数学思维品质得到优化。让学生了解并掌握解决实际问题的一般思想方法，形成科学的思维习惯，并具有自觉地应用数学的意识，从而全面提高学生的综合素质和解决简单实际问题的应用能力。
　　

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